Международный секретариат G-Global г.Астана, ул.Темирказык, 65, офис 116 тел.: 7(7172) 278903

Аңдатпа. Мақалада серпімді тұтқыр жер қабатында  дөңгелеу үйкелісін ескерген жағдайдағы жоғары дәрежелі айналу беттерімен шектелген теңселмелі тірекке орнатылған дірілден қорғау қондырғысының тербелісін зерттеу әдісі келтірілген. Мұнда алдымен жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығы анықталған. Сонымен қатар, жүйенің еркін тербелісін зерттеу мәселелері қарастырылып, түзетілтін беттермен шектелген теңселмелі тірекке орнатылған дірілден қорғалатын дененің,  серпімді тұтқыр жер қабатындағы,  дөңгелеу үйкелісін ескерген жағдайда тербелмелі қозғалысының фазалық сурттері бейнеленген, олар ғылыми тұрғыдан негізделген.

 

Ключевые слова: трения качения, опора качения, виброзащитные устройства, упруговязкий грунт, коэффицент текучести, вынужденные колебания.

 

Аннотация. В статье представлен метод исследованию  динамику виброзащитных систем  при гармоничском, ударном и кинаматическом воздействие. Исследовано вынужденные колебания твердого тела на опорах качения, ограниченных поверхностями вращения высокого порядка при наличии трения качения на вязкоупругих грунтах. Получено уравнение движения системы и система исследована на устойчивость ее стационарного  состояния. Определены закономерности вынужденного колебания и установлены различные колебательные режима.

Annotation.The article presents a method for studying oscillations of an oscillating unit on a flexible mounting layer, which is limited to rotating surfaces with high rotational surfaces under circular friction. First of all, the stability of the system is determined. In addition, the study of free fluctuations of the system is considered, and phase images of oscillatory motion are taken into account, taking into account circular friction of the vibration-resistant body, an elastic bonding layer, which is fixed on the peripheral support, which is limited to rectangular surfaces that are scientifically grounded.

 

 

Жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығы. Түзетілтін беттермен шектелген теңселмелі тірекке орнатылған дененің серпімді тұтқыр жер қабатындағы,  дөңгелеу үйкелісін ескерген жағыдайдағы қозғалыс теңдеуі мынадай түрде болады

                                                           (1)

мұндағы

                                

H-теңселмелі трек биіктігі, P-жер қабатына түсірген қысым күші. және - сәйкес, теңселмелі тіреке қойылған жоғарғы дененің орын ауыстыру, жылдамдығы, және табанның орын ауыстыруы, -икемділік модулі

    Жаңа белгілеулер енгізейік

                                                                                               (2)

  Енді    (1) теңдеуді өлшемсіз формадағы теңдеуге келтіруге болады

     

                                                                      (3)

Мұндағы

                                                 

Жүйе тепе-теңдігінің орнықтылығын зерттейік. Жаңа айнымылы енгіземіз

                                                                 

және болған кездегі (3) теңдеуді, берінші ретті дифференциальдық теңдеулер жүйесі түрінде жазайық

                                                                                                 (4)

(3) теңдеудің ерекше нүктесі, теңселмелі тірекке орнатылған дірілден қорғалатын дененің тепе-теңдік күйі болады, яғни  . Ляпунов функциясы ретінде жүйенің толық механикалық энергиясын аламыз

                                                                                              (5)

мұндағы   М – дененің массасы.  (4) қозған қозғалыстың теңдеуін ескеріп,  (5) функциядан уақыт бойынша толық туынды табамыз


- жұп сан,  - оң сан.

    Төмендегі шарт орындалғанда

                                                                                                    (6)

-функциясы және айнымалыларының  оң-анықтарған функциясы болады, ал

функция  будет определенно- положительной функцией переменных и , а
 туындысы теріс, бірақ және  айнымалыларының  теріс-анықтарған функциясы болмайды  (  болғанда, туынды   ). Қозғалыстың орнықтылығы туралы Ляпунов теоремасына [1],[2]  сәйкес ауытқымаған  қозғалысты (тепе-теңдік нүктесі) орнықты, бірақ асимптотикалық емес деп ұйғарым жасауға болады.

Енді Барбашин-Красовский теориясына  [3],[4] назар аударайық. -функциясы (6) шарты орындалғанда ғана оң-анықталған болады.Бұдан басқа ол ® ¥ егер   ® ¥ шартын қанағаттандырады. = 0 жиыны тек қана  = 0, ( ось ) түзуде нольге айналады.Бұл түзу кескін нүктенің тұтас траекториясы бола алмайды, себебі функциясы (4) қос теңдеуді нольге айналдырмайды және қатысты тұтас  асимптотикалық орнықты болады

Жүйенің еркін тербелісін зерттеу.Түзетілтін беттермен шектелген теңселмелі тірекке орнатылған дірілден қорғалатын дененің тербелісін,  серпімді тұтқыр жер қабатындағы,  дөңгелеу үйкелісін ескерген жағыдайда Ван-дер-Поль әдісімен зерттейік. (3) теңдеудің оң жағы нольге тең деп ұйғарып, оны мынадай түрде жазамыз

                                                           (7)

  мұндағы

                                                       (8)

 параметр аз шама болғанда, (7)жүйенің тербелмелі қозғалысын квазконсервативті деп ұйғаруға болады [5],[6]. Осындай жүйені асимптотикалық интегралдау алгоритмі [7],[8] жұмыстарда тұрғызылған.

(7) – нің жасанды теңдеуі мынадай интегральдары болуы мүмкін

                                      (9)

мұндағы

z(t) периодты функциясының синусойдальды еместігінің өлшемі төмендегі өрнекпен анықталатын c клирфактор болады [9].

Осыдан, жасанды теңдеудің  (9) периодты шешімі синусойдалы тербеліске жақын болатынын (клирфактордың аз болуы мағынасында) байқаймыз.Олай болса, жасанды теңдеудің шешімін мынадай түрде бейнелейміз

                                                                                     (10)    

[7],[8] жұмыстарында жасалынған алгоритмнің ізімен жүріп, жаңа айнымалы ретінде

 амплитуданы және j фазаны аламыз және (10) өрнекті қандайда бір айнымалыларды ауыстыру деп қарап, (7) қозғалыс теңдеуін бірінші ретті екі теңдеулер жүйесіне түрлендіреміз

                                                                                            (11)

Мұндағы   - жасанды жүйенің толық энергиясы,  -шамасы   j тәуелді болмайды. Бұл факті [10] жұмысында тағайындалған. 

Мынадай қатыс орынды                                                                                      

Енді функцияны тригонометриялық қатарға жіктейік. Сонымен

                   (12)

мұндағы

Қатардың үш мүшесімен шектеліп, (12) өрнекті мынадай түрде бейнелейміз

                                                                              (13)

 мұндағы

Коллокация әдісімен (13) өрнекті Фурье қатарына жіктейміз

                                                    (14)

,

Сонымен, (12), (13) және (14) ескеріп

                                                                                   (15)

(10) және  (15) өрнектерін ескерген жағыдайда, орташаланған теңдеулер мынадай түрді қабылдайды

                                                                         

                                                                                                                              (16)

t = 0,  бастапқы шартында (16) теңдеуді интегральдап, мынаны аламыз

                                                                            (17)

Осы алгебралық теңдеу амплитуда мен t уақыт арасындағы тәуелділікті береді. (17) теңдеуді n > 2 болғанда  -ге  қатысты шешу күрделі, бірақ ол туралы қандайда бір мағлұмат алуға болады. Дірілден қорғалатын қондырғының тербелмелі қозғалысының өшу уақыты

   болғанда                                         (18)

амплитуданың t уақытқа айқын тәуелділігін алу үшін (16) теңдеуді жуықтау әдісімен интегральдаймыз. Айнымалыларды екі еселеу әдісіне [10] сәйкес функциясы гамильтонианы төмендегідей болатын (18) теңдеуді қанағаттандырады ,

 мұндағы

                                                    

-ді ауытқудың канондық теориясын пайдаланып табамыз. Гамильтонианның нольдік жуықтауын  таңдап алып, мынаны табамыз

    

                                                                             (19)

0 t << 1 ¤ mn  уақыт интервалында (19) қатардың екі мүшесімен шектелеміз

                                                                                                    (20)

Жүйенің стационар күйінің орнықтылығы

Стационар тербелістің орнықтылығын қарастырайық. (16) теңдеуден байқаймыз,  стационар мәні = 0 тең болады.  ұйғарып,  шексіз аз өсімше үшін (жоғары ретті аз мүшелерді ескермейміз) (20) теңдеуден мынаны табамыз

                                                       

мұндағы

                                     

Сонымен, амплитуданың стационар мәнінде олай болса жүйенің күйі орнықты.

Нәтижелер және талдау. 1- суретте сандық және аналитикалық әдістермен алынған (9) теңдеудің шешімінің графигі тұрғызылған. Есептеулер параметрдің мынадай мәндері үшін жүргізілген:

  ,

Бұл суретте 1 және 2 қисықтар сандық шешімнің нәтижелері бойынша тұрғызылған, ал 3 қисық аналитикалық шешімнің  бірінші жуықтауын береді. 2-ші және 3-ші қисықтардың жақын болуы сандық және аналитикалық әдістермен алынған шешімдердің жақындығын білдіреді. 2- суретте жүйенің тербелмелі қозғалысының  өшу уақытының  теңселмелі тірек бетінің дәрежесіне тәуелділігін сипаттайтын график көрсетілген.

(20)  теңдеудің негізінде,  және   әртүрлі мәндері үшін жүйенің еркін тербелісінің амплитудасының қисығы тұрғызылған ( 3- сурет  және 4- сурет).

Түзетілтін беттермен шектелген теңселмелі тірекке орнатылған дірілден қорғалатын дененің,  серпімді тұтқыр жер қабатындағы,  дөңгелеу үйкелісін ескерген жағыдайда тербелмелі қозғалысының фазалық портреті  5- суретте көрсетілген.

 

1-сурет. Қозғалыс теңдеуінің шешімінің  графигі тәуелділігін сипаттайтын график.

2-сурет.  жүйенің тербелмелі қозғалысының өшу уақытының  теңселмелі тірек бетінің дәрежесіне тәуелділігі графигі

 

3-сурет. Дөңгелеу үйкеліс коэффициенті -дің әртүрлі мәндері үшін жүйенің еркін тербелісі амплитудасының уақытқа тәуелділік графигі. 

4-сурет. Теңселмелі тірек бетінің дәрежесі -нің әртүрлі мәндері үшін жүйенің еркін тербелісі амплитудасының уақытқа тәуелділік графигі. 

                                                        

                                                   

5-  сурет. Дірелден қорғалатын дененің тербелмелі қозғалысының фазалық портреті.

Сонымен, түзетілтін беттермен шектелген теңселмелі тірекке орнатылған дірілден қорғалатын дененің,  серпімді тұтқыр жер қабатындағы,  дөңгелеу үйкелісін ескерген жағдайдағы еркін тербелісі,  амплитуданың  мынадай бастапқы мәндер обласында

 

өшетін болады, ал тепе-теңдік күйі орнықты фокус болады.

1   Бiсембаев К., Пъятецкий В.О. Дослiджения нелiнiйних коливань тiла на     опорах кочения зi спрямленими поверхнями // Вiсник Киiвського Универ-ситету.физ.-мат науки, 1992., № 5, с. 12 – 17.

2 Барбашин Е.А. Функция Ляпунова, Наука, М.1970.

3 Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Наука, Москва. 1966.

4 Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости движения, Наука, М.1967.

5 Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения, физ-  матгиз. Москва, 1959.

6 Бабицкий В.И., Крупенин В.А. Колебания в сильно нелинейных системах.   Наука, М.    1985

7 Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. Наука. М. 1969.

8 Волосов В.М., Моргунов Б..М. .Методы осреднения в теории нелинейных колебательных систем. Издат. Москв. Универ.,1971 

9 Андронов А.А., Вит А.А., Хайкин С.Э. Теория колебания, Физматгиз,1959.

10 Боголюбов Н.Н., Метропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории    нелинейных  колебаний. Наука, М. 1974.

Партнеры G Global

  • 001_3.jpg
  • 002.jpg
  • 002.png
  • 004.jpg
  • 004_2.jpg
  • 009.png
  • 15.png
  • ASEF_HORIZONTAL_5C_PNG.png
  • Bloomberg_logosvg.png
  • IOFS_logo.png
  • Logo.png
  • Offizielles_Logo_des_Europischen_Forum_Alpbach.png
  • Silok.png
  • Без названия.jpg